哈尔滨工业大学（威海）06 /07学年秋季学期

       代数与几何        试题卷（A）

  考试形式（开、闭卷）：闭卷答题时间： 120  （分钟）本卷面成绩占课程成绩  80  %

 一、填空题（每题３分，共３0分）

 1．已知  ，则             。

 2．设 均为 维列向量，记矩阵 ，  ， ，

 则               。

 3．若 ，满足 ，求                 。

 4．若 ，则                 。

 5．若向量 ，向量 ，则 在 上的投影为           。

 6．二次曲面 ，则该曲面的名称为               。

 7．若 为四阶方阵，且 的秩数为3 ，则齐次线性方程组 （ 为

 的伴随矩阵）的解空间的维数为                     。

 8． 元非齐次线性方程组有无穷多解，且系数矩阵的秩数为 ， 则该非齐次线

  性方程组的解集合中，最多含有                个线性无关的解。

 9．设矩阵 与 相似，则          

           。

 10．已知 的特征值为-1，1，2，则             。

 二、选择题（每题３分，共18分）

 １．下列结论正确的为（       ）

　　　（A）若 与 均为 阶可逆矩阵，则 可逆

　　　（B）若 与 均为 阶正交矩阵，则 正交

　　　（C）若 与 均为 阶正定矩阵，则 正定　　　　　　　　

       （D）若 与 均为 阶对称矩阵，则 反对称

 ２．设 ，  ，则 与 （　　　　）

      （A）合同且相似　　　　　　　　　（B）合同但不相似

　　　（C）不合同但相似　　　　　　　　（D）不合同且不相似

 ３．设矩阵 与 满足 ，且 ，则（　　　　）

　　　（A） 的行向量组线性相关　　　　（B） 的列向量组线性相关

　　　（C） 的行向量组线性相关　　　　（D） 的列向量组线性相关

 ４．设 为 阶矩阵， 为 阶可逆矩阵， 的秩为 ,  的秩为 ，则（　　）

　　　（A） 　（B） 　（C） 　（D）以上答案均不对

 ５．设 是３阶方阵，将 的第一列与第二列交换得 ，再把 的第二列加到第三列得 ，则满足 的可逆矩阵 为：（    ）

 （A） 　（B） 　（C） 　（D）

 6．设 为 阶矩阵， 的每行元素之和均为1，且 的秩数为 ， 为 中元素 的代数余子式， ，非齐次线性方程组 ， ， 为任意常数， 则 的通解为（     ）

     （A） 　　　　（B）

　　（C）   （D）

 三、求直线  在平面 上的投影直线的方程 （本题满分8分）                                                 

 四、已知二次型

    的秩为2，（1）求  （2）求正交线性变换 把 化成标准型。（本题满分10分）                 

 五、设 为 阶实正定阵， 为 实阵， 为 的转置，证明  正定的充要条件为 （本题满分7分）

六、已知3阶矩阵 的第一行是 ， 不全为零，矩阵 （ 为常数），且 ，求线性方程组 的通解。（本题满分7分）