哈尔滨工业大学（威海）07 /08学年秋季学期

       代数与几何        试题卷（A）

 考试形式（开、闭卷）：闭卷答题时间： 120  （分钟）本卷面成绩占课程成绩  80  %

一、填空题（每题３分，共３0分）

  请将下列各题的答案填在下列表格中

 1.已知  ， 为 的伴随矩阵，则             。

 2.设向量组 线性无关，则向量组 ， ，

必线性             关 。

 3．若 为 阶方阵，满足 ，则             。

 4．若 为 阶方阵， 为 阶方阵，则                。

 5．若四阶方阵 的伴随矩阵 的秩数为1，则齐次线性方程组 的基础解系必含有          个解

     向量。

 6．若向量组 ， ， 为 维正交向量组，且 的长度 分别为1 ，2，3

  则行列式 的值为               。

 7. 二次型 在条件 下的最大值为            。

 8．已知空间中四点 ， ， ， ，则四面体 的体积为              。

 9．空间直线 绕 轴旋转所生成的旋转曲面的方程为             。

 10．从 中基 到基 的过渡

 矩阵为              。

二、选择题（每题３分，共21分）

  １．下列结论错误的为（       ）

　　　（A）若 与 均为 阶可逆矩阵，则 可逆

　　　（B）若 与 均为 阶正交矩阵，则 正交

　　　（C）若 与 均为 阶正定矩阵，则 正定　　　　　　　　

      （D）若 与 均为 阶对称矩阵，且 与 可换，则 对称

  ２．设 ， ， 则必有（　　　　）

      （A） 合同于 ，且 相似于 　（B） 等价于 ，且 相似于

　　　（C） 合同于 ，且 相似于 　（D） 合同于 ，且 相似于

 ３．设矩阵 为 阶可逆矩阵， 的第1行的2倍加到第二行得到 ， 分别为 的伴随矩阵，则（　　　　）

　　　（A） 的第一行的2倍加到第二行得到

　　　（B） 的第一列的-2倍加到第二列得到

　　　（C） 的第二行的2倍加到第一行得到 　　　　

      （D） 的第二列的-2倍加到第一列得到

 ４．设 均为 阶方阵，则错误的为（　　）

　　　（A） 与 的行列式相等     （B） 与 的迹相等　

      （C） 与 的秩数相等   　  （D） 与 具有相同的特征值

 ５．已知向量组 线性相关，且 不能被 线性表出，则以下结论正确的是（    ）

      （A） 必线性无关　 （B） 必线性相关　

      （C） 必线性无关　 （D）   必线性相关

 6．设 是三阶非零矩阵，且 的每一列都是方程组 的解，设 ，则  （     ）

  （A） 　　　（B） 　　（C）     （D） 与 有关

 7．若 为 阶方阵 的两个不同的特征值， 为 的对应于 的线性无关的特征向量，  为 的对应于 的特征向量，则 必为（   ）向量组

（A）线性相关　（B）线性无关　（C）正交    （D）标准正交

 三、已知平面 ； ； ，求过 与 的交线且与平面 垂直的平面方程 （本题满分8分）                                                 

 四、求正交线性变换 把二次型

    化成标准型，并指出 时所表示的空间图形的名称。（本题满分10分）                 

 五、设 为 阶实对称阵， 为正定阵， 为 的转置，证明 可逆（本题满分5分）

 六、设 阶方阵 满足 。

 （1）试证： 的特征值只能为1或-1。

（2） 能否相似对角化？若能写出其相应的对角阵。（本题满分6分）